有一户竟然重男轻女的人家,会一直生孩子直到男孩子比女孩子多一个,问最后期望的女孩子比男孩子的比值是多少?

分析

考虑用概率生成函数,设
S(z)=i=0p(i)ziS(z)=\sum_{i=0}^{\infty}p(i)z^i
其中p(i)p(i)表示一共生了ii个孩子的概率。
显然当ii是偶数的时候,p(i)p(i)00。所以只考虑ii是奇数,那么由于男孩子比女孩子多一个,这时候女孩子有(i1)/2(i-1)/2个,男孩子有(i+1)/2(i+1)/2个,比例为(i1)/(i+1)(i-1)/(i+1)
则所求的期望是
E=i=0i1i+1p(i)=12i=01i+1p(i)\begin{aligned} E &= \sum_{i=0}^\infty \frac{i-1}{i+1}p(i) \\ &= 1-2\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i+1}p(i) \\ \end{aligned}

S(z)dz=C+i=0zi+1i+1p(i)\int S(z)dz = C + \sum_{i=0}^\infty \frac{z^{i+1}}{i+1}p(i)

01S(z)dz=i=01i+1p(i)\int_0^1 S(z)dz = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}p(i)

E=1201S(z)dzE=1-2\int_0^1S(z)dz

计算S

GG表示女孩,BB表示男孩,令G=B=12zG=B=\frac{1}{2}z。则
S=B+GBB+GGBBB+GBGBB+S=B+GBB+GGBBB+GBGBB+\dots
SS等于所有这样的序列的和。
这样的序列满足,对于不包含最后一个字母的所有的前缀,男孩(BB)不比女孩(GG)多,而整个序列最终男孩比女孩多一个。

再设另外一个概率生成函数TT,使得TB=STB=S。即把SS中每个序列的最后一个男孩(BB)去掉,得到TT
T=1+GB+GGBB+GBGB+T=1+GB+GGBB+GBGB+\dots
TT中每个序列满足对于所有的前缀,男孩(BB)不比女孩(GG)多,而整个序列最终男孩女孩数量相等。

不(hen)难证明以下等式:
T1=GSTT-1=GST
证明方法如问求期末考试那样,先证明T1T-1中所有序列都在GSTGST里,再证明GSTGST里所有序列在T1T-1里,这样就证明了两边是由相同的序列集合加起来的。

接下来就简单了。
联立两条方程,得到
{12zT=ST1=12zST\begin{cases} \frac{1}{2}zT=S\\ T-1=\frac{1}{2}zST \end{cases}
从第一条得T=2zST=\frac{2}{z}S,代入第二条,得到
2zS1=S2 或 S22z+1=0\frac{2}{z}S-1=S^2 \text{ 或 } S^2-\frac{2}{z}+1=0
用求根公式得到
S(z)=1z±1z21S(z)=\frac{1}{z} \pm \sqrt{\frac{1}{z^2}-1}
因为S(1/2)=i=0p(i)2i<i=0p(i)=1S(1/2)=\sum_{i=0}^\infty p(i)2^{-i} < \sum_{i=0}^\infty p(i) = 1,所以上式取负号。
S(z)=1z1z21S(z)=\frac{1}{z} - \sqrt{\frac{1}{z^2}-1}
至此
01(1z1z21)dz=1ln2\int_{0}^1 \left(\frac{1}{z}-\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}\right)dz = 1-\ln 2
E=12(1ln2)=2ln21E=1-2(1-\ln 2) = 2\ln 2 - 1