有一户竟然重男轻女的人家，会一直生孩子直到男孩子比女孩子多一个，问最后期望的女孩子比男孩子的比值是多少？

分析

考虑用概率生成函数，设
$S(z)=\sum_{i=0}^{\infty}p(i)z^i$
其中$p(i)$表示一共生了$i$个孩子的概率。
显然当$i$是偶数的时候，$p(i)$为$0$。所以只考虑$i$是奇数，那么由于男孩子比女孩子多一个，这时候女孩子有$(i-1)/2$个，男孩子有$(i+1)/2$个，比例为$(i-1)/(i+1)$。
则所求的期望是
$\begin{aligned} E &= \sum_{i=0}^\infty \frac{i-1}{i+1}p(i) \\ &= 1-2\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i+1}p(i) \\ \end{aligned}$
又
$\int S(z)dz = C + \sum_{i=0}^\infty \frac{z^{i+1}}{i+1}p(i)$
故
$\int_0^1 S(z)dz = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}p(i)$
即
$E=1-2\int_0^1S(z)dz$

计算S

用$G$表示女孩，$B$表示男孩，令$G=B=\frac{1}{2}z$。则
$S=B+GBB+GGBBB+GBGBB+\dots$
即$S$等于所有这样的序列的和。
这样的序列满足，对于不包含最后一个字母的所有的前缀，男孩($B$)不比女孩($G$)多，而整个序列最终男孩比女孩多一个。

再设另外一个概率生成函数$T$，使得$TB=S$。即把$S$中每个序列的最后一个男孩($B$)去掉，得到$T$。
$T=1+GB+GGBB+GBGB+\dots$
$T$中每个序列满足对于所有的前缀，男孩($B$)不比女孩($G$)多，而整个序列最终男孩女孩数量相等。

不(hen)难证明以下等式：
$T-1=GST$
先证明$T-1$中所有序列都在$GST$里，再证明$GST$里所有序列在$T-1$里，这样就证明了两边是由相同的序列集合加起来的。

接下来就简单了。
联立两条方程，得到
$\begin{cases} \frac{1}{2}zT=S\\ T-1=\frac{1}{2}zST \end{cases}$
从第一条得$T=\frac{2}{z}S$，代入第二条，得到
$\frac{2}{z}S-1=S^2 \text{ 或 } S^2-\frac{2}{z}S+1=0$
用求根公式得到
$S(z)=\frac{1}{z} \pm \sqrt{\frac{1}{z^2}-1}$
因为$S(1/2)=\sum_{i=0}^\infty p(i)2^{-i} < \sum_{i=0}^\infty p(i) = 1$，所以上式取负号。
$S(z)=\frac{1}{z} - \sqrt{\frac{1}{z^2}-1}$
至此
$\int_{0}^1 \left(\frac{1}{z}-\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}\right)dz = 1-\ln 2$
$E=1-2(1-\ln 2) = 2\ln 2 - 1$